একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির লোহার পাতার সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সেমি ও 1 সেমি এবং এদের লম্ব দূরত্ব 2 সেমি । পাতটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি ?

মনে করি, দেয়ালটির উচ্চতা  h মিটার
এখন, sin30º = h/18
বা, 1/2 = h/18
বা, 2h = 18
বা, h = 9

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো অর্থাৎ যে রেখাগুলো কোণগুলোকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে, তারা সমবিন্দু। অর্থাৎ তারা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে মিলিত হয়। এই ছেদ বিন্দুটিকে ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র (Incenter) বলা হয়।
অন্তঃকেন্দ্রকে কেন্দ্র করে ত্রিভুজের বাহুগুলোর ওপর লম্ব দূরত্বকে ব্যাসার্ধ ধরে একটি বৃত্ত আঁকা যায়, যা ত্রিভুজের তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করে। এই বৃত্তটিকে বলা হয় অন্তঃবৃত্ত (Incircle)।
অন্যান্য অপশনগুলোর ব্যাখ্যা নিচে দেওয়া হলো:
১. ভরকেন্দ্র (Centroid): ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রয়ের (শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখা) ছেদবিন্দু।
২. পরিকেন্দ্র (Circumcenter): ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বসমদ্বিখণ্ডক ত্রয়ের ছেদবিন্দু।
৩. লম্ববিন্দু (Orthocenter): ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব ত্রয়ের ছেদবিন্দু।

শর্টকাট মনে রাখার উপায়:
* কোণের সমদ্বিখণ্ডক → অন্তঃকেন্দ্র (Angle → Incenter)
* বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক → পরিকেন্দ্র (Perpendicular bisector of side → Circumcenter)
* মধ্যমা → ভরকেন্দ্র (Median → Centroid)
* লম্ব (শীর্ষ থেকে) → লম্ববিন্দু (Altitude → Orthocenter)
সুতরাং, কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদ বিন্দু হলো অন্তঃকেন্দ্র।

ধরি, অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ ক সে.মি.।

পরস্পর অন্তঃস্পর্শকারী দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রে,

ব্যাসার্ধের পার্থক্য = কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব

বা, 6 - ক = 2

বা, ক = 6 - 2

বা, ক = 4 সে.মি.

ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 6°

এখন
x + x + 6° + 90° = 180°
⇒ 2x + 96° = 180°
⇒ 2x = 180° - 96°
⇒ x = 84°/2
∴ x = 42°

ক্ষুদ্রতম কোণ 42

যেকোনো সাধারণ চতুর্ভুজের চারটি বাহুর মধ্যবিন্দু পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক ক্ষেত্র পাওয়া যায়।

সমাধানের নিয়ম:
দুটি সমীকরণ a1x + b1y + c1 = 0 এবং a2x + b2y + c2 = 0 এর কোনো সমাধান না থাকার শর্ত হলো:
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 

এখানে প্রদত্ত সমীকরণ দুটি:
১ম সমীকরণ: 2x + 5y + 8 = 0
(এখানে a1 = 2, b1 = 5, c1 = 8) 

২য় সমীকরণ: 2x - ky - 3 = 0
(এখানে a2 = 2, b2 = -k, c2 = -3) 

শর্ত অনুযায়ী মান বসিয়ে পাই:
2/2 = 5/(-k)
=> 1 = 5/(-k)
=> -k = 5
=> k = -5