টপিকঃ অনুপাত ও সমানুপাত
1.
একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১। এতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪:১ হবে।
১৬ গ্রামের গহনাতে সোনা আছে ১৬ X৩/ (৩+১) = ১২ গ্রাম
তামা আছে = ৪ গ্রাম
পরিবর্তিত গহনা তে তামার পরিমাণ বাড়বে না। এবং সোনা হবে তামার ৪ গুন = ১৬ গ্রাম।
অতএব, সোনা বাড়বে= (১৬-১২) গ্রাম= ৪ গ্রাম।
2.
12+22+32+……….+x2 এর মান কত?
1² + 2² + 3² +..........+ x² = x(x + 1)(2x + 1)/6
[ n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি,1² + 2² +3² +..........+ n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 ]
3.
ক, খ , গ এর মাসিক বেতনের অনুপাত ২:৩:৫ । গ এর মাসিক বেতন ক অপেক্ষা ১২০০০ টাকা বেশি হলে খ এর বেতন কত?
মনেকরি,
‘ক’ এর মাসিক বেতন = ২x
'খ' ,, ,, ,, = ৩x
'গ' ,, ,, ,, = 5x
প্রশ্নমতে, ৫x - ২x = ১২০০০
⇒৩x = ১২০০০
⇒ x = ৪০০০
.: ‘খ’ এর বেতন = ৩ × ৪০০০
= ১২০০০ টাকা
4.
যদি a+b=2, ab=1 হয় তবে a এবং b এর মান কত?
দেওয়া আছে,
a + b = 2 .......(1)
এবং ab = 1 .......(2)
আমরা জানি,
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
=> (a - b)2 = 22 - 4.1
=> (a - b)2 = 4 - 4
a - b = 0 ..........(3)
(1) + (3) হতে পাই,
2a = 2
=> a = 1
(1) - (3) হতে পাই,
2a = 2
=> b = 1
a = 1 এবং b = 1.
5.
দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে ৫৪ বৃদ্ধি পায়। অঙ্ক দুইটির যোগফল ১২ হলে সংখ্যাটি কত?
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = ১০y + x
অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে নতুন সংখ্যাটি হয় = ১০x + y
প্রশ্নমতে,
১০y + x + ৫৪ = ১০x + y
⇒ ৯x - ৯y = ৫৪
⇒ ৯(x - y) = ৫৪
∴ x - y = ৬
এবং x + y = ১২
এখন,
২x = ১৮
x = ৯
এবং y = ৩
∴ সংখ্যাটি = ১০ × ৩ + ৯
= ৩৯
6.
একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
প্রস্ত = ক একক
পরিসীমা = ২ ( ২ক + ক) একক
= ৬ক একক।
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪ = ৩ক/২
এখন, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ৩ক/২)² = ৯ক²/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক²
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল / আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ৯ক²/৪) / (২ক²) = ৯/৮ = ৯ : ৮
7.
x+₂⅔ = 0 হলে, x ³+ 6 এর মান কত?
দেওয়া আছে,
x + 21/3 + 22/3 = 0
⇒ x = -(21/3 + 22/3) ........(1)
⇒ x3 = -(21/3 + 22/3)3
⇒ x3 = -{(21/3)}3+ {(22/3)}3 + 3.21/3.22/3(21/3 + 22/3)}
⇒ x3 = -{2 + 4 + 3.23/3(-x)} [(1) নং হতে]
⇒ x3 = -(6 - 6x)
⇒ x3 = -6 + 6x
∴ x3 + 6 = 6x
8.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত কত হবে?
প্রশ্নমতে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
বা, πr2 = x2
বা, x = r√π
সুতরাং বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2πr : 4x
= 2πr : 4×r√π
= π : 2√π
9.
পিতা-পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৪০ বছর। ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৩ : ১ হলে পুত্রের বর্তমান বয়স কত ?
পিতা-পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৪০ বছর
মনেকরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
তাহলে, পিতার বর্তমান বয়স =৪০ - ক বছর
১০ বছর পরে তাদের বয়স হবে,
পুত্রের বয়স = ক + ১০ বছর
পিতার বয়স = ৪০ - ক + ১০ বছর।
প্রশ্নমতে,
(৪০ - ক + ১০) : ক + ১০ = ৩ : ১
(৪০ - ক + ১০)/(ক + ১০) = ৩/১
৩ক + ৩০ = ৫০ - ক
৩ক + ক = ৫০ - ৩০
৪ক = ২০
ক = ৫
পুত্রের বর্তমান বয়স = ৫ বছর
10.
১,০০০ টাকা ক ও খ ১ঃ ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ঃ ১ঃ ১ অনুপাতে ভাগ করে। মেয়ে কত টাকা পাবে?
দেওয়া আছে,
মোট টাকার পরিমাণ = ১০০০ টাকা
ক ও খ-এর অর্থের অনুপাত = ১ : ৪
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ১ + ৪ = ৫
∴ খ পায় = ১০০০ টাকার ৪/৫ অংশ
= (২০০ × ৪) টাকা
= ৮০০ টাকা
আবার,
খ তার প্রাপ্ত টাকা নিজে, তার মা ও মেয়ের মধ্যে ভাগ করে দেয়।
তাদের প্রাপ্ত অর্থের অনুপাত = ২ : ১ : ১
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ২ + ১ + ১ = ৪
সুতরাং, মেয়ে পাবে = খ-এর টাকার ১/৪ অংশ
= ৮০০ টাকার ১/৪ অংশ
= (২০০ × ১) টাকা
= ২০০ টাকা