টপিকঃ বিসিএস প্রশ্ন ব্যাংক
1.
x²− 7x+12≤0 এর সমাধান সেট-
x2 - 7x + 12 ≤ 0
x2 - 3x - 4x + 12 ≤ 0
x(x - 3) - 4(x - 3) ≤ 0
∴ (x - 3)(x - 4) ≤ 0
x2 - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0 হয়।
এখন, x - 3 ≤ 0 এবং x - 4 ≥ 0
অর্থাৎ, x ≤ 3 এবং x ≥ 4
3 এর চেয়ে ছোট বা সমান এবং 4 এর চেয়ে বড় বা সমান x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।
আবার,
x2 - 7x + 12 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 ≤ 0 হয়।
এখন, x - 3 ≥ 0 এবং x - 4 ≤ 0
অর্থাৎ x ≥ 3 এবং x ≤ 4
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 4 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: 3 ≤ x ≤ 4
x2 - 7x + 12 ≤ 0 এর সমাধান সেট [3, 4]
2.
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 2√2 : 3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের অনুপাত = 1 : 2√2:3
এখন,
বাহুত্রয় 1, 2√2, 3 হলে, 12 + (2√2)2 = 1 + 8
= 9
= (3)2
যা পিথাগোরাসের সমকোণী ত্রিভুজের শর্ত সিদ্ধ করে।
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী এবং বৃহত্তম কোণটি = 90°
5.
একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান = ১/২ × ভূমি×উচ্চতা
৮৪ = ১/২ × ভূমি × ১২
বা, ৮৪ = ভূমি × ৬
ভূমি = ১৪ গজ
6.
১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে ৫টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
এখানে, 10টি জিনিসের মধ্যে ২টি
একই এবং বাকিগুলো ভিন্ন। 2টি একই
জিনিসকে 1টি ধরে (10 - 2 + 1) = 9টি ভিন্ন
ভিন্ন জিনিস হতে 5টি বাছাই করা যায় = ⁹c₅
= 126 উপায়ে
আবার, ২টি একই জাতীয় জিনিস হতে ২টি,
এবং বাকি 3টি ভিন্ন জিনিসকে 8টি হতে বাছাই
করা যায় = ²C₂ x ⁸C₃
= 56 উপায়ে।
∴ মোট উপায় = 126 + 56 = 182
7.
৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
৫ জন পুরুষ হতে একজন পুরুষ বাছাই করার উপায় = ⁵C¹ = 5 টি
৪ জন মহিলা হতে দুইজন মহিলা বাছাই করার উপায় = ⁴C² = 6 টি
∴ একটি কমিটি গঠন করা যাবে = 5 × 6 = 30 উপায়ে
8.
একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৩ মিটার, ৪ মিটার ও ৫ মিটার হলে, এতে কত লিটার বিশুদ্ধ পানি থাকবে?
চৌবাচ্চার আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = ৩ × ৪ × ৫ = ৬০ ঘনমিটার। আমরা জানি, ১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার। সুতরাং, ৬০ ঘনমিটার = ৬০ × ১০০০ = ৬০০০০ লিটার।
9.
১২+২২+৩২+____+৫০২=কত?
আমরাজানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = n(n+1)(2n+1)/6
12 +22 +32 + ---------- + 502 = 50×51×101/6=42925
10.
যদি ১৫ টি পোশাকের মধ্যে শতকরা ৪০ ভাগ পোশাক শার্ট হয় , তবে ১৫ টি পোশাকের মধ্যে কতটি শার্ট নয় ?
১৫টি পোশাকের মধ্যে শার্ট আছে = ১৫x(৪০/১০০) = ৬টি.
সুতরাং শার্ট নয় (১৫ - ৬) = ৯টি.
11.
বাস্তব সংখ্যায় 1 3 x − 5 < 1 3 অসমতাটির সমাধান-
12.
6a²bc এবং 4a³b²c² এর সংখ্যা সহগের গ.সা.গু নিচের কোনটি?
আমরা জানি ,
গ. সা. গু. হল শুধু মিল গুলো
সুতরাং , 6a2bc এবং 4a3b2c2 সংখ্যা সহগের গ.সা.গু = 2
13.
কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮∘ ও ৬২∘ । ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’
প্রশ্নমতে,
২৮° + ৬২° + ক = ১৮০°
বা, ৯০° + ক = ১৮০°
∴ ক = ৯০°
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকো
14.
দুইটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬ তাদের লসাগু ৯৬ হলে গ.সা.গু কত ?
সংখ্যাদ্বয়ের গুনফল = ল, সা, গু × গ, সা, গু
বা, ১৫৩৬ = ৯৬ × গ, সা, গু
বা, গ, সা, গু = ১৫৩৬ / ৯৬
গ, সা, গু = ১৬
15.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ ∶ ৮, উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হয়। সংখ্যা দুটি কী কী?
মনে করি,
একটি সংখ্যা ৫x
অপর সংখ্যা ৮x
প্রশ্ন মতে,
(৫x + 2)/(৮x + 2) = 2ঃ৩
বা, (৫x + 2)/(৮x + ২) = ২/৩
বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ৬
সুতরাং, x = ২
একটি সংখ্যা - ৫*২ = ১০
অপর সংখ্যা = ৮*২ = ১৬
16.
শতকরা ৫ টাকা হার সুদে ২০ বছরে সুদে-আসলে ৫০,০০০ টাকা হলে মূলধন কত?
সরল সুদের সূত্রটি হলো: সুদ = (মূলধন × সময় × হার) / ১০০. এখানে, সুদে-আসলে ৫০,০০০ টাকা দেওয়া আছে, অর্থাৎ সুদ + মূলধন = ৫০,০০০ টাকা। আমরা মূলধনকে 'ক' ধরলে, সুদ হবে (৫০,০০০ - ক) টাকা। সুদের হার ৫% এবং সময় ২০ বছর।
সুতরাং, সূত্র অনুযায়ী:
(৫০,০০০ - ক) = (ক × ২০ × ৫) / ১০০
(৫০,০০০ - ক) = (১০০ক) / ১০০
৫০,০০০ - ক = ক
৫০,০০০ = ক + ক
৫০,০০০ = ২ক
ক = ৫০,০০০ / ২
ক = ২৫,০০০ টাকা
অতএব, মূলধন হল ২৫,০০০ টাকা।
17.
একটি গাছের পাদদেশ হতে 26√3 মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত মিটার?
এখানে, tan( উন্নতি কোণ) = লম্ব/ভূমি। সুতরাং, tan(30°) = গাছের উচ্চতা / 26√3। আমরা জানি, tan(30°) = 1/√3। সমীকরণটি সমাধান করলে পাওয়া যায়, গাছের উচ্চতা = (1/√3) * 26√3 = 26 মিটার।
20.
ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কিঃ মিঃ। ঢাকা থেকে একটি ট্রেন সকাল ৭ টায় ছেড়ে গিয়ে বিকেল ৩ টায় চট্টগ্রাম পৌঁছে। ট্রেনটির গড় গতি ঘণ্টায় কত ছিল?
ট্রেনটি ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম পৌঁছাতে সময় নিয়েছে ৭টা থেকে ৩টা পর্যন্ত, অর্থাৎ ৮ ঘণ্টা।
দেওয়া আছে, ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব = ৩০০ কিঃ মিঃ
∴ ট্রেনের গড় গতিবেগ = অতিক্রান্ত দূরত্ব/ব্যয়িত সময়
= ৩০০/৮
= ৩৭.৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা
সুতরাং, ট্রেনটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় ৩৭.৫ কিলোমিটার।
21.
৬ জন খেলােয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়?
প্রতি দলে ৩ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৬ জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ⁶C³ = (৬.৫.৪)/(৩.২.১) = ২০
সমান সংখ্যক বা ৩ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২০/২ = ১০
23.
একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১,৫৪০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি বন্দুক ছুঁড়বার ৩ সেকেন্ড পরে লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে ১,১০০ ফুট। লক্ষ্য বস্তুর দূরত্ব কত?
ধরি,
লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x মিটার
x মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে x/১৫৪০ সেকেন্ড
x মিটার আসতে শব্দের সময় লাগে x/১১০০ সেকেন্ড
প্রশ্নমতে,
x/১৫৪০ + x/১১০০ = ৩
বা, (৫x+৭x)/৭৭০০ = ৩
বা ,১২x = ৩×৭৭০০ = ২৩১০০
∴ x = ১৯২৫
24.
P-এর মান কত হলে 4x²-px+9 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
4x² - px + 9
= (2x)² + (3)² - 2.2x.3 - px + 2.2x.3
= ( 2x - 3)² + 12x -px
রাশিটিপূর্ন বর্গ হবে যদি , 12x - px = 0
p = 12
25.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল হবে:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু a = 4
'' '' ক্ষেত্রফল =(√3/4)a2
= (√3 x 4 x 4)/4
= 4√3
29.
১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল = n(n + 1)/2
= ১০০×(১০০ + ১)/২
= ১০০×১০১/২
= ৫০×১০১
= ৫০৫০
30.
একটি থলিতে ১টি নীল, 10টি সাদা, 20টি কালো বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
থলিতে মোট বল আছে = (5 + 10 + 20)টি = 35টি
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 10/35 = 2/7
বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/7)
= (7 - 2)/7
= 5/7
31.
৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ A এর ১৭ ভাগ, B এর ৩ ভাগ এবং C এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে B কতটুকু আছে?
তিনটি মিশ্রণ এর অনুপাত হল, ১৭ঃ৩ঃ৪
অনুপাত গুলোর যোগফল = ২৪
তাই ,মিশ্রণে B আছে = ৭২ এর ৩/২৪ = ৩ × ৩ = ৯ কেজি।
উত্তর ঃ ৯ কেজি।
32.
যদি a³-b³= 513 এবং a-b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?
a³−b³=513
⇒(a−b)³+3ab (a−b) =513
⇒(3)³ +3ab ×3=513
⇒9ab =513−27
⇒ab=486/9
.'. ab=54
33.
চালের মূল্য ১২% কমে যাওয়ায় ৬,০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ১ কুইন্টাল চাল বেশি পাওয়া যায়। ১ কুইন্টাল চালের বর্তমান মূল্য কত?
১২% কমে
১০০ টাকায় চালের মূল কমে ১২ টাকা
৬০০০ ' '' '' '' (১২× ৬০০০)/১০০
=৭২০ টাকা
৭২০ টাকায় ১ কুইন্টাল চাল বেশি পাওয়া যায় ।
অর্থাৎ ১ কুইন্টাল চালের বর্তমান মূল ৭২০ টাকা
35.
log√3⁸¹ কত?
log√3⁸¹
= log√3^(√³)⁸
= 8 × log√3^√³
= 8 × 1 (loga^a = 1)
= 8
36.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি এবং উচ্চতা x সে.মি হলে, x এর মান কোনটি?
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)²
= (√৩/৪) × (২)²
= (√৩/৪) × ৪
= √৩
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ২ × x
= x
প্রশ্নমতে,
x = √৩
38.
একটি গোল মুদ্রা টেবিলে রাখা হল। এই মুদ্রার চারপাশে একই মুদ্রা কতটি রাখা যেতে পারে যেন তারা মাঝের মুদ্রাটিকে এবং তাদের দুইপাশে রাখা দুটি মুদ্রাকে স্পর্শ করে?
ধরি, A হচ্ছে কেন্দ্রে রাখা মুদ্রা এবং B হচ্ছে চারপাশে রাখা মুদ্রাগুলোর একটি।
আবার, মুদ্রাগুলোর ব্যাসার্ধ্য = a
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র A কে কেন্দ্র করে B কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের উপর দুইটি স্পর্শক টানি। স্পর্শকদ্বয় B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের C ও D বিন্দুতে স্পর্শ করে। যেখানে, BCলম্বAC এবং BDলম্বAD.
সুতরাং
এখন, AB = a + a = 2a; BC = a
ACB সমকোণী ত্রিভুজে, Sin BAC = BC/AB = a/2a = 1/2 = Sin 30° এখানে,
একইভাবে, তাহলে,
কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে ১ টি চারপাশের মুদ্রা কেন্দ্র 360° কোণ উৎপন্ন করে = (360/60) টি মুদ্রা = 6 টি
নির্ণেয় মুদ্রার সংখ্যা ৬ টি।
39.
City B is 5 miles east of city A City C is 10 miles southeast of city B. Which of the following is the closed to the distance from city A to city C?
40.
একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ ∶ ১, এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ ∶ ১ হবে?
১৬ গ্রামের গহনাতে সোনা আছে ১৬ X৩/ (৩+১) = ১২ গ্রাম
তামা আছে = ৪ গ্রাম
পরিবর্তিত গহনা তে তামার পরিমাণ বাড়বে না। এবং সোনা হবে তামার ৪ গুন = ১৬ গ্রাম।
অতএব, সোনা বাড়বে= (১৬-১২) গ্রাম= ৪ গ্রাম।
41.
বার্ষিক ১/২% সরল সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে
ধরি, বিনিয়োগকৃত টাকার পরিমান ''ক'
৪ ১/২ % হারে ''ক' টাকার ৪ বছরের সরল সুদ (ক*৪*৪ ১/২ %)টাকা
= (ক*৪* ৯/২* ১/১০০) টাকা
= ৯ক/৫০ টাকা
সুদআসল ( ক+৯ক/৫০) টাকা
প্রশ্নমতে, ক+৯ক/৫০ = ৮২৬
বা ৫০ক+ ৯ক/৫০=৮২৬
বা ৫৯ক = ৪১৩০০
বা ক = ৭০০
42.
৪০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম । গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কী হবে?
43.
x²−5x+6<0 হলে–
x² -3x-2x+6 <0
= x(x-3) - 2(x-3) <0
= (x-3) (x-2) <0 ------- (1)
এখানে সমীকরণটি সত্য হবে যদি (x-3) ও (x-2) এর একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋনাতক হয় ।
=> x>3 হলে, x-3>0 এবং x-2>0
=> 2 <x <3 হলে, x-3 <0 এবং x-2 >0
=> x<2 হলে, x-3<0, এবং x-2<0
তাহলে দেখা যাচ্ছে শুধুমাত্র 2<x<3 হলে,(1)নং সমীকরণটি সত্য বলে প্রমাণিত হয় । তাই উওরঃ 2<x<3
44.
৪ টাকায় ৫টি করে কিনে ৫ টাকায় ৪ টি করে বিকয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?
১ টির ক্রয়মূল্য= (৪/৫) টাকা
১ টির বিক্রয়মূল্য= (৫/৪) টাকা
∴ লাভ= (৫/৪) - (৪/৫) টাকা
= (২৫-১৬)/২০ টাকা
= ৯/২০ টাকা
∴ শতকরা লাভ= {(৯/২০)/(৪/৫)} x ১০০%
= ৯/২০ x (৫/৪) x ১০০%
= ৫৬.২৫%
45.
3x-7y+10=0 এবং y-2x-3=0 এর সমাধান-
3x - 7y + 10 = 0 ........(1)
y - 2x - 3 = 0
=> y = 2x + 3 .......(2)
(1) নং হতে, 3x - 7 (2x + 3) + 10 = 0
=> 3x - 14x - 21 + 10 = 0
=> -11x = 11 x = -1
(2) নং হতে, y = 2(-1) + 3 = 1
x = -1, y = 1
48.
দুটি সমান্তরাল রেখা ক’টি বিন্দুতে ছেদ করে?
দুটি সরলরেখার সধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়। অতএব দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও একটিকে অপরটি ছেদ করে না।
49.
a+b+c= 0 হলে a³+b³+c³ এর মান কত ?
a + b + c = 0
বা, a + b = - c
এখন
a³ + b³ + c³
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³
= (- c)³ - 3ab(-c) + c³
= - c³ + 3abc + c³
= 3abc
50.
রেলওয়ে স্টেশনে আগমনরত ইঞ্জিনে বাঁশি বাজাতে থাকলে প্লাটফর্মে দাড়ান ব্যাক্তির কাছে বাঁশীর কম্পনাঙ্ক-
শব্দের উৎস থেকে কম্পাঙ্ক যেদিকে যায়, শব্দের উৎস তথা ট্রেন সেদিকেই এগোতে থাকলে কম্পাঙ্কের ঘনত্ব বাড়ে, এতে শব্দের তিব্রতা বাড়ে