আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1। এই সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করলে পাওয়া যায়, sec²θ = 1 + tan²θ।"

sin 45° = (দেয়ালের উচ্চতা) / (মইয়ের দৈর্ঘ্য)। যদি মইটি দেয়াল বরাবর ২০ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করে, তাহলে sin 45° = 20 / (মইয়ের দৈর্ঘ্য)। 1/√2 = 20 / (মইয়ের দৈর্ঘ্য)। অতএব, মইয়ের দৈর্ঘ্য = 20√2 মিটার।

কোণকের হেলানো উচ্চতা, উচ্চতা এবং ভূমির ব্যাসার্ধ একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, যেখানে হেলানো উচ্চতা হলো অতিভুজ। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (হেলানো উচ্চতা)² = (উচ্চতা)² + (ব্যাসার্ধ)²। এখানে, উচ্চতা = ১২ সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ = ৫ সে.মি.। সুতরাং, হেলানো উচ্চতা = √(১২² + ৫²) = √(১৪৪ + ২৫) = √১৬৯ = ১৩ সে.মি.।"

দেওয়া আছে, উন্নতি কোণ (θ) = ৬০° এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য = ২৪০ মিটার। সুতরাং, tan(৬০°) = উচ্চতা / ২৪০। আমরা জানি, tan(৬০°) = √3। অতএব, উচ্চতা = ২৪০ × √3 ≈ ২৪০ × ১.৭৩২ = ৪১৫.৬৮ মিটার, যা প্রায় ৪১৫.৬৯ মিটারের সমান।"

দেওয়া আছে, tanA = 1/√3। আমরা জানি, tan 30° = 1/√3। সুতরাং, A = 30°। আবার, A + B = 90°। অতএব, B = 90° - A = 90° - 30° = 60°

9π/2 = 4π + π/2। সুতরাং, sin(9π/2 + θ) = sin(4π + π/2 + θ) = sin(π/2 + θ)। আমরা জানি, sin(π/2 + θ) = cosθ। এটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে পড়ে যেখানে সাইন ধনাত্মক।"

tan(θ) = উচ্চতা / ভূমি। এখানে, θ = 60° এবং ভূমি = ১০ মিটার। tan(60°) = উচ্চতা / ১০। আমরা জানি, tan(60°) = √3। সুতরাং, উচ্চতা = ১০ × √3 ≈ ১০ × ১.৭৩২ = ১৭.৩২ মিটার।"

 বাক্সের আয়তন = ৫৫ × ৪৮ × ৩০ = ৭৯২০০ ঘন সে.মি.। একটি সাবানের আয়তন = ৫ × ৪ × ১.৫ = ৩০ ঘন সে.মি.। মোট সাবানের সংখ্যা = (বাক্সের আয়তন) / (সাবানের আয়তন) = ৭৯২০০ / ৩০ = ২৬৪০ টি।

cos A = √(1 - sin²A) = √(1 - 9/25) = 4/5
sin B = √(1 - cos²B) = √(1 - 16/25) = 3/5
এখন, tan(A+B) এর সূত্র ব্যবহার করি:
tan(A+B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)
= ((3/4) + (3/4)) / (1 - (3/4) * (3/4))
= (6/4) / (1 - 9/16)
= (6/4) / (7/16)
= (6/4) * (16/7)
= 24/28
= 6/7

সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা। এখানে, ভূমি = ২১ মিটার এবং উচ্চতা (লম্বালম্বি দূরত্ব) = ৩৬ মিটার। সুতরাং, মাঠের ক্ষেত্রফল = ২১ × ৩৬ = ৭৫৬ বর্গমিটার। প্রতি বর্গমিটারে খরচ ১.২৫ টাকা হলে, মোট খরচ হবে ৭৫৬ × ১.২৫ = ৯৪৫ টাকা।"